Wasserstein Distance를 활용한 금융 분포 비교 리스크 평가와 전략 최적화

개요

금융 데이터에서 분포의 차이를 측정하는 것은 리스크 관리와 투자 전략 설계에 중요한 역할을 합니다. Wasserstein Distance(워서스타인 거리)는 두 확률 분포 간의 차이를 정량화하는 강력한 방법으로, 특히 분포의 형태와 중심 위치를 함께 고려합니다. 이번 포스트에서는 Wasserstein Distance를 활용해 금융 분포를 비교하고, 이를 통해 리스크 평가와 전략 최적화를 수행하는 방법을 알아봅니다.

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1. Wasserstein Distance란?

Wasserstein Distance는 Optimal Transport Theory(최적 수송 이론)에서 기원한 개념으로, 두 확률 분포 간의 "비용"을 측정합니다. 이 비용은 하나의 분포에서 다른 분포로 "질량"을 이동시키는 데 필요한 최소한의 작업량으로 정의됩니다.

공식 정의

Wasserstein Distance ( W_p )는 다음과 같이 정의됩니다:
[
W_p(P, Q) = \left( \inf_{\gamma \in \Pi(P, Q)} \int |x - y|^p d\gamma(x, y) \right)^{1/p}
]
여기서:

• ( P )와 ( Q ): 비교할 두 분포.
• ( \Pi(P, Q) ): ( P )와 ( Q ) 간의 결합 분포 집합.
• ( \gamma(x, y) ): ( P )에서 ( Q )로 질량을 이동시키는 계획(transport plan).
• ( p ): 거리의 차원을 결정하는 파라미터. 일반적으로 ( p=1 ) 또는 ( p=2 )가 사용됨.

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2. Wasserstein Distance의 금융 분야 적용

금융 데이터에서는 분포를 비교해야 하는 다양한 상황이 존재합니다:

• 포트폴리오 리스크 비교: 자산군의 과거 수익률 분포를 비교하여 위험을 평가.
• 시장 환경 분석: 시장 이벤트 전후로 금융 분포의 변화를 분석.
• 모델 평가: 예측 모델이 실제 데이터 분포를 얼마나 잘 재현하는지 평가.

Wasserstein Distance의 장점

1. 모든 차원 정보 사용: 분포의 평균, 분산, 형태 등을 모두 고려.
2. 강건성: 분포가 약간 겹치지 않는 경우에도 비교 가능.
3. 시각적 해석 가능: Optimal Transport를 기반으로 분포 이동의 직관적 이해 제공.

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3. Wasserstein Distance를 활용한 금융 데이터 분석: 단계별 가이드

3.1 데이터 준비

분포 비교를 위해 금융 데이터에서 수익률 또는 다른 관련 지표를 준비합니다.

import pandas as pd
import numpy as np

# 예제: 두 자산군의 수익률 데이터
np.random.seed(42)
asset_1_returns = np.random.normal(0.01, 0.02, 1000)  # 평균 1%, 표준편차 2%
asset_2_returns = np.random.normal(0.015, 0.03, 1000)  # 평균 1.5%, 표준편차 3%

# 데이터 프레임 생성
data = pd.DataFrame({
'Asset_1': asset_1_returns,
'Asset_2': asset_2_returns
})

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3.2 Wasserstein Distance 계산

Python의 scipy 라이브러리는 Wasserstein Distance를 계산하는 함수를 제공합니다.

from scipy.stats import wasserstein_distance

# Wasserstein Distance 계산
distance = wasserstein_distance(data['Asset_1'], data['Asset_2'])

print(f"Wasserstein Distance between Asset 1 and Asset 2: {distance}")

출력 예시

Wasserstein Distance between Asset 1 and Asset 2: 0.007

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3.3 결과 시각화

분포를 시각적으로 비교하면 Wasserstein Distance를 더 직관적으로 이해할 수 있습니다.

import matplotlib.pyplot as plt

# 히스토그램 시각화
plt.hist(data['Asset_1'], bins=50, alpha=0.5, label='Asset 1', density=True)
plt.hist(data['Asset_2'], bins=50, alpha=0.5, label='Asset 2', density=True)

plt.title('Distribution Comparison')
plt.xlabel('Returns')
plt.ylabel('Density')
plt.legend()
plt.show()

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3.4 시장 이벤트 전후의 분포 변화 분석

Wasserstein Distance를 이용해 특정 이벤트(예: 금리 인상, 팬데믹 등) 전후로 금융 데이터의 분포 변화를 평가할 수 있습니다.

# 이벤트 전후 데이터 분리
event_date = 500
before_event = asset_1_returns[:event_date]
after_event = asset_1_returns[event_date:]

# Wasserstein Distance 계산
distance_event = wasserstein_distance(before_event, after_event)
print(f"Wasserstein Distance before and after event: {distance_event}")

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4. 리스크 평가와 전략 최적화에서의 응용

4.1 리스크 평가

Wasserstein Distance를 활용해 두 자산군 간의 분포 유사성을 측정함으로써 리스크를 정량화할 수 있습니다.

• 낮은 거리: 두 자산의 분포가 유사, 분산 효과 감소.
• 높은 거리: 두 자산의 분포가 상이, 분산 효과 증가.

4.2 포트폴리오 최적화

• 분포 기반 자산 선택: Wasserstein Distance를 기준으로 분포가 유사한 자산을 배제하여 다각화 강화.
• 시장 상태 평가: 시장 변동성 증가 시 Wasserstein Distance가 급격히 변하는 패턴을 감지.

4.3 모델 평가 및 튜닝

예측 모델의 출력 분포와 실제 분포 간 Wasserstein Distance를 측정하여 모델의 성능을 평가하고 개선 방향을 탐색할 수 있습니다.

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5. Wasserstein Distance의 장점과 한계

장점

1. 다양한 분포 비교 가능: 비정규 분포, 이상치 포함 데이터에 강건함.
2. 직관적 해석: 분포 이동의 실제 물리적 의미를 고려.
3. 고차원 데이터 확장 가능: 다차원 분포 비교에 적용 가능.

한계

1. 계산 비용: 다차원 분포에서 Wasserstein Distance 계산은 시간이 오래 걸릴 수 있음.
2. 데이터 품질 의존성: 소규모 데이터나 노이즈가 많은 데이터에서는 결과 신뢰성이 낮아질 수 있음.

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결론

Wasserstein Distance는 금융 분포 비교에서 강력한 도구로, 리스크 평가와 전략 최적화에 유용합니다. 특히, 분포의 중심뿐 아니라 형태까지 고려하여 더 풍부한 정보를 제공합니다. 이를 통해 투자자의 의사결정을 더 정교하게 만들 수 있으며, 예측 모델이나 시장 이벤트 분석에서도 효과적으로 활용될 수 있습니다.

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참고 자료

1. Optimal Transport and Wasserstein Distance - Python Optimal Transport Library
2. Scipy Documentation: wasserstein_distance
3. Villani, C. (2008). Optimal Transport: Old and New. Springer.